Chuyên đề Một số dạng toán tính nhanh ở Tiểu học - Trường Tiểu học An Thịnh Hòa

 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 Trường Tiểu học An Hòa Thịnh
 Thứ 4, 24/04/2019 | 22:48
 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH
 NHANH Ở TIỂU HỌC.
 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC.
 Như chúng ta đã biết ở Tiểu học có một số dạng bài tính nhanh mà nếu ta tính theo
 những cách thông thường thì khó có thể tìm ra được kết quả. Ở mỗi dạng bài tính nhanh
 có những cách tính đặc trưng riêng. Sau đây tôi xin được giới thiệu một số dạng bạng bài
 tính nhanh với những cách tính đặc trưng của từng dạng qua một vài ví dụ cụ thể sau:
 NHÓM 1:
 Bài 1: Tính nhanh
 S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..................... + 1/128 + 1/256
 Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liên trước nên ta có thể giải
 theo các cách sau:
 Cách 1:
 S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....................1/128 + 1/256
 = 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + ....................... (1/128 – 1/256)
 = 2 – 1/256 = 511/256
 Vậy S = 511/256
 Cách 2:
 S x 2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + .................................... + 1/128
 S x 2 – S = 2 – 1/ 256 = 511/256
 Vậy S = 511/256
 Bài 2: Tính nhanh
 S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/2187
 Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/3 số hạng liên trước nên ta có thể giải
 theo cách 2 như bài 1:
 S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/729
 S x 3 – S = 3 – 1/2187 = 6560/2187
 Vậy S = 6560/2187 : 2 = 6560/4374
 Bài 3: Tính nhanh
1 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
 Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước. Ta có thể giải
 bài toán trên theo các cách sau:
 Cách 1:
 A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
 A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
 Vậy A = 16383
 Cách 2: Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
 1 + 2 + 4 = 3 + 4
 Tổng 4 số hạng đầu là:
 1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
 Tổng 5 số hạng đầu là:
 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
 Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
 A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
 Vậy A = 16383
 Cách 3: Nhận xét:
 2 = 1 + 1
 4 = (1 + 2) + 1
 8 = (1 + 2 + 4) + 1
 ......................................................................................................................
 8192 = (1 + 2 + 4 + ............... + 4096) + 1
 Vậy A = 8192 – 1 + 8192 = 16383
 * Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém số hạng liền trước n lần
 ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểu thức sau
 khi nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta sẽ tính được kết quả của bài toán.
 NHÓM 2:
 Bài 4: Tính nhanh
 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
 Phân tích: Bài này ta thấy ở mấu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể phân
 tích như sau:
 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
 = 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014
2 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 = 1 – 1/2014 = 2013/2014
 Bài 5: Tính nhanh
 A = 1/1 x3 + 1/ 3 x 5 + 1/ 5 x 7 + ................. + 1/ 2013 x 2015
 Phân tích: Bài này ta thấy giống với bài 5 chỉ khác ở chỗ ở MS là tích 2 số lể liên tiếp.
 Muốn đưa về phân cách phân tích như bài 5 ta phải tìm cách đưa tử số về là 2. Ta làm
 như sau:
 A x 2 = 2/1 x3 + 2/ 3 x 5 + 2/ 5 x 7 + ................. + 2/ 2013 x 2015
 = 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + .................. + 1/2013 – 1/2015
 = 1 – 1/2015 = 2014/2015
 Vậy A = 2014/2015 : 2 = 2014/4030.
 Bài 6: Tính nhanh.
 1/ 2 x (1 + 2) + 1/ 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 1/2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
 Phân tích: Với bài này ta phải tìm cách đưa MS về dạng tính nhanh cở bản như bài 4; 5
 ở trên. Ta có thể nhận thấy thừa số thứ 2 ở mẫu số là tổng các số tự nhiên liên tiếp nên ta
 có thể dùng cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp để có thể đưa về dạng tính nhanh cơ
 bản. Ta có thể làm như sau:
 MS = 2 x (1 + 2) + 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
 = 2 x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + ................ + 2 x (9 x 10)/2
 2 x3 + 3 x 4 + ...................... + 9 x 10
 Vậy TS/MS = 1/2x3 + 1/3x4 + ............... + 1/9x10
 = 1/2 – 1/10 = 2/5
 * Kết luận: Với bài có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách giữa a và b; b và c là n
 đơn vị) ta phân tích như sau:
 n/a xb + n/b xc = 1/a - 1/b + 1/b - 1/c
 NHÓM 3:
 Bài 7: Tính nhanh
 M = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + .................... + 201 x 202
 Phân tích: Bài này ta thấy mỗi số hạng là tích hai số tự nhiên liên tiếp. Để tạo ra các
 nhóm thừa số có thể loại trừ hết cho nhau ta phân tích như sau:
 M x 3 = 1 x 2 x (3 - 0) + 2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) + .................... + 201 x 202 x (203 –
 200) = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + ..................... + 201 x 202 x
 203 – 200 x 201 x 202
 = 201 x 202x 203 = 8242206
 Vậy M = 8242206 : 3 = 2747402
 Bài 8: Tính nhanh
3 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 N = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + .................... + 100 x 101 x 102
 Phân tích: Tương tự ta thấy các số hạng trong tổng là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Vì vậy
 ta có thểphân tích như sau:
 N x 4 = 1 x 2 x 3 x (4 - 0)+ 2 x 3 x 4 x (5 - 1)+ 3 x 4 x 5 x (6 – 2) + .................... + 100 x
 101 x 102 x (103 – 99) = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 - 1 x 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 x 6 - 2 x 3 x
 4 x 5 + ................. + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102 = 100 x 101 x 102 x
 103 = 106110600
 Vậy N = 106110600 : 4 = 26527650
 Bài 9: Tính nhanh
 B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
 Phân tích: Bài này thực ra là bài thuộc dạng bài 7 và 8 nhưng ta phải tìm cách đưa về
 dạng cơ bản trên. Ta có thể phân tích như sau:
 B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100 = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) +
 .................. + 100 x (101 – 1) = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x
 101 – 100 = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100) = (100 x
 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 = 338350
 * Kết luận 3: Với dạng bài có các số hạng là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có thể
 làm như sau:
 - Số hạng thứ nhất nhân với n (trong đó n là số tự nhiên liền kề của thừa số lớn
 nhất trong tích).
 - Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) – 1
 .....................................................................................................................
 VD: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 ................ ta làm như sau:
 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 .............. = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 - 1)+ 3 x 4 x (5 - 2)
 NHÓM 4:
 Bài 10: Tính nhanh.
 Tử số = 2012 + 2011/2 + 2010/3 + ................ + 2/2011 + 1/2012
 Mẫu số = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ........................ + 1/2012 + 1/2013
 (Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014)
 Phân tích: Với bài này ta tìm cách đưa TS về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1 thừa số
 chính là mẫu số. Ta có thể làm như sau:
 TS = (1 + 1 + .......... + 1) + 2011/2 + ................ + 2/2011 + 1/2012
 (2012 chữ số 1)
 = (1 + 2011/2) + ...........+ (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + 1
 = 2013/2 + .......... + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013
4 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 = 2013 x ( 1/2 + .......... + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013)
 TS/MS = 2013
 Bài 11: Tính nhanh.
 TS = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + .............. + (1 + 2 + 3 + .......... + 2014)
 MS = 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
 Phân tích: Với dạng bài ta nhận thấy ở TS có 2014 số 1; 2013 số 2 ............. Vì vậy ta có
 thể giải như sau:
 TS = (1 + 1 + .... + 1) + (2 + 2 + ....... + 2) + ....... + (2013 + 2013) + 2014
 (2014 chữ số 1) (2013 chữ số 2)
 = 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
 Vậy TS/MS = 1
 Bài 12: Tính nhanh.
 TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
 MS = 1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100
 Phân tích: Với bài này ta có thể dùng cách thêm bớt để đưa MS về giống với TS. Ta có
 thể làm như sau:
 MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
 = (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)
 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 ....... 1/100
 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + ....... 1/50 ) = 1/51 +
 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
 Vậy TS/MS = 1
 Bài 13: Tính nhanh.
 TS = 1 + 1/3 + 1/5 + .............+ 1/97 + 1/99
 MS = 1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51
 Phân tích: Với dạng bài ta thấy tương tự như các bài trên ta tìm cách đưa TS và MS về
 tích 2 thừa số và có 1 thừa số chung. Ta có thể làm như sau:
 TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + ........................ + (1/49 + 1/51)
 = 100/ 1x99 + 100/3x97 + .......................... + 100/49X51
 = 100/ (1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51)
 Vậy TS/MS = 100
 Bài 14: Tính nhanh.
 TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 + .............+ 1/99 + 1/100
 MS = 1/99 + 2/98 + .......... + 99/1
5 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 Phân tích: Với dạng bài ta phân tích MS như sau:
 MS = (100 – 99)/99 + (100 - 98)/98 + ............+ (100 – 2)/2 + (100 - 1)/1
 = 100/99 – 1 + 100/98 – 1 + ..................... + 100/2 – 1 + 100/1 – 1
 = 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/1 – 1 x 99
 = 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 1
 = 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/100
 = 100 x (1/99 + 1/98 + ........................ + 1/2 + 1/100)
 = 100 x (1/2 + 1/3 + ........................ + 1/99 + 1/100)
 Vậy TS/MS = 1/100
 * Kết luận: Với các bài từ bài 10 đến bài 14 ta thấy giữa TS và MS luôn có mối quan
 hệ với nhau và ta tìm cách đưa TS hoặc MS về một thừa số giống nhau để giúp ta
 rút gọn và tính được giá trị của biểu thức.
 Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu
 số của phân số liền trước n lần.
 Ví dụ 1: Tính nhanh A = 1/2+ 1/4 + 1/8 +1/16 +1/32 + 1/64
 Nhận xét: Mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số phân số liền trước
 - Tính A x 2
 A x 2 = 1 + 1/2 +1/4 +1/8 +1/16+ 1/32
 - Tính A bằng cách A = A x 2 – A
 Vậy A = 1 + 1/2 +1/4 +1/8 +1/16+ 1/32 - 1/2 - 1/4 - 1/8 -1/16 - 1/32 - 1/64
 A = 1 - 1/64
 A = 63/64
 Ví dụ 2: B =5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/ 54 + 5 /162 + 5 /486
 Nhận xét: Mẫu số của phân số sau gấp 3 lần mẫu số phân số liền trước
 Bước 1: Tính B x 3
 B x 3 = 3 x (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/ 54 + 5 /162 + 5 /486)
 = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/ 54 + 5 /162
 Bước 2: Tính B x 3 – B
 B x 3 – B = 15/2 +5/2 +5/6 +5/18 +5/54 + 5/162 -5/2 -5/6 -5/18 - 5/54 - 5 /162 - 5/486
 B x (3 - 1) = B x 2
 B x 2 =15/2 - 5/486
6 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 B x 2 = 3640/486
 B = 3640 / 486 : 2 = 910/243
 Ví dụ 3 : (Tương tự B) C = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729
 Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích của hai
 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ
 nhất của mẫu số liền sau:
 Ví dụ 1:
 A = 1/ 2x3 + 1/ 3x4 + 1/4x5 + 1/5x6
 Nhận xét 3- 2 = 1 (bằng tử số)
 1/2x3 = 1/2- 1/3; 1/3x4 = 1/3 – 1/4
 A = 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/ 4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 – 1/6
 A= 1/ 2 – 1/6
 A = 1/3
 Ví dụ 2: B = 3/ 2x5 + 3/ 5x8 + 3/ 8x11 + 3/ 11x14
 B = 1/2- 1/5 + 1/ 5 – 1/8 + 1/8 – 1/11 + 1/ 11- 1/14
 =1/ 2 – 1/14 = 3/7
 Dạng 3: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này bằng mẫu số
 của phân số kia.
 Ví dụ 1: 1991/ 1990 x 1992/ 1991 x 1993 /1992x 1994/1993 x 995/997
 Rút gọn Tử số này với mẫu số kia ta được kết quả là 1994/1990 x 995/ 997
 Ví dụ 2: (1-1/ 2) x (1- 1/3) x (1- 1/4) x (1- 1/5)
 Tính lần lượt các phép tính trong ngoặc ta được kết quả:
 1/2 x 2/ 3 x 3/4 x 4/5 = 1/5
 Tương tự:
 Ví dụ 3: (1- 3/ 4) x (1- 3/7) x (1- 3/10) x (1- 3/13) x (1 – 3/97) x (1- 3/100)
 Dạng 4: Vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số
7 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả mẫu số và tử số rồi thực hiện rút gọn biểu
 thức.
 Ví dụ 1: 2003 x 1999 – 2003 x 999/ 2004 x 999 + 1004
 = 2003 x (1999 – 999)/ (2003 + 1) x 999 + 1004
 = 2003 x 1000/ 2003 x 999 +999 +1004
 = 2003 x 1000 / 2003 x 999 + 2003
 = 2003 x 1000/ 2003 x 1000
 = 1 ( Vì tử số bằng mẫu số )
 Ví dụ 2: 1996 x 1995 – 996/ 1000 + 1996 x 1994
 = 1996 x ( 1994 + 1) – 996 / 1000 + 1996 x 1994
 = 1996 x 1994 + 1000/ 1000 + 1996 x 1994
 = 1
 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC.
 Như chúng ta đã biết ở Tiểu học có một số dạng bài tính nhanh mà nếu ta tính theo
 những cách thông thường thì khó có thể tìm ra được kết quả. Ở mỗi dạng bài tính nhanh
 có những cách tính đặc trưng riêng. Sau đây tôi xin được giới thiệu một số dạng bạng bài
 tính nhanh với những cách tính đặc trưng của từng dạng qua một vài ví dụ cụ thể sau:
 NHÓM 1:
 Bài 1: Tính nhanh
 S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..................... + 1/128 + 1/256
 Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/2 số hạng liên trước nên ta có thể giải
 theo các cách sau:
 Cách 1:
 S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .....................1/128 + 1/256
 = 1 + (1 – 1/2) + (1/2 – 1/4) + (1/4 – 1/8) + ....................... (1/128 – 1/256)
 = 2 – 1/256 = 511/256
 Vậy S = 511/256
 Cách 2:
 S x 2 = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + .................................... + 1/128
 S x 2 – S = 2 – 1/ 256 = 511/256
 Vậy S = 511/256
 Bài 2: Tính nhanh
8 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/2187
 Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau bằng 1/3 số hạng liên trước nên ta có thể giải
 theo cách 2 như bài 1:
 S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ..................... + 1/729
 S x 3 – S = 3 – 1/2187 = 6560/2187
 Vậy S = 6560/2187 : 2 = 6560/4374
 Bài 3: Tính nhanh
 A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192
 Phân tích: Bài này ta thấy số hạng liền sau gấp 2 lần số hạng liền trước. Ta có thể giải
 bài toán trên theo các cách sau:
 Cách 1:
 A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384
 A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383
 Vậy A = 16383
 Cách 2: Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:
 1 + 2 + 4 = 3 + 4
 Tổng 4 số hạng đầu là:
 1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8
 Tổng 5 số hạng đầu là:
 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16
 Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:
 A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383
 Vậy A = 16383
 Cách 3: Nhận xét:
 2 = 1 + 1
 4 = (1 + 2) + 1
 8 = (1 + 2 + 4) + 1
 ......................................................................................................................
 8192 = (1 + 2 + 4 + ............... + 4096) + 1
 Vậy A = 8192 – 1 + 8192 = 16383
 * Kết luận: Với dạng bài có số hạng liền sau hơn hoặc kém số hạng liền trước n lần
 ta có cách giải chung là: ta nhân cả biểu thức đó cho n rồi lấy kết quả biểu thức sau
 khi nhân trừ cho biểu thức lúc đầu ta sẽ tính được kết quả của bài toán.
9 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 NHÓM 2:
 Bài 4: Tính nhanh
 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
 Phân tích: Bài này ta thấy ở mấu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên ta có thể phân
 tích như sau:
 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014
 = 1/1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014
 = 1 – 1/2014 = 2013/2014
 Bài 5: Tính nhanh
 A = 1/1 x3 + 1/ 3 x 5 + 1/ 5 x 7 + ................. + 1/ 2013 x 2015
 Phân tích: Bài này ta thấy giống với bài 5 chỉ khác ở chỗ ở MS là tích 2 số lể liên tiếp.
 Muốn đưa về phân cách phân tích như bài 5 ta phải tìm cách đưa tử số về là 2. Ta làm
 như sau:
 A x 2 = 2/1 x3 + 2/ 3 x 5 + 2/ 5 x 7 + ................. + 2/ 2013 x 2015
 = 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + .................. + 1/2013 – 1/2015
 = 1 – 1/2015 = 2014/2015
 Vậy A = 2014/2015 : 2 = 2014/4030.
 Bài 6: Tính nhanh.
 1/ 2 x (1 + 2) + 1/ 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 1/2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
 Phân tích: Với bài này ta phải tìm cách đưa MS về dạng tính nhanh cở bản như bài 4; 5
 ở trên. Ta có thể nhận thấy thừa số thứ 2 ở mẫu số là tổng các số tự nhiên liên tiếp nên ta
 có thể dùng cách tính tổng các số tự nhiên liên tiếp để có thể đưa về dạng tính nhanh cơ
 bản. Ta có thể làm như sau:
 MS = 2 x (1 + 2) + 2 x (1 + 2 + 3) + ............ + 2 x (1 + 2 + 3 + ....... + 9)
 = 2 x (2 x 3)/2 + 2x (3 x 4)/2 + ................ + 2 x (9 x 10)/2
 2 x3 + 3 x 4 + ...................... + 9 x 10
 Vậy TS/MS = 1/2x3 + 1/3x4 + ............... + 1/9x10
 = 1/2 – 1/10 = 2/5
 * Kết luận: Với bài có dạng n/a xb + n/b xc (với khoảng cách giữa a và b; b và c là n
 đơn vị) ta phân tích như sau:
 n/a xb + n/b xc = 1/a - 1/b + 1/b - 1/c
 NHÓM 3:
 Bài 7: Tính nhanh
 M = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + .................... + 201 x 202
10 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 Phân tích: Bài này ta thấy mỗi số hạng là tích hai số tự nhiên liên tiếp. Để tạo ra các
 nhóm thừa số có thể loại trừ hết cho nhau ta phân tích như sau:
 M x 3 = 1 x 2 x (3 - 0) + 2 x 3 x (4 - 1) + 3 x 4 x (5 - 2) + .................... + 201 x 202 x (203 –
 200) = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + ..................... + 201 x 202 x
 203 – 200 x 201 x 202
 = 201 x 202x 203 = 8242206
 Vậy M = 8242206 : 3 = 2747402
 Bài 8: Tính nhanh
 N = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + .................... + 100 x 101 x 102
 Phân tích: Tương tự ta thấy các số hạng trong tổng là tích ba số tự nhiên liên tiếp. Vì vậy
 ta có thểphân tích như sau:
 N x 4 = 1 x 2 x 3 x (4 - 0)+ 2 x 3 x 4 x (5 - 1)+ 3 x 4 x 5 x (6 – 2) + .................... + 100 x
 101 x 102 x (103 – 99) = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 - 1 x 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 x 6 - 2 x 3 x
 4 x 5 + ................. + 100 x 101 x 102 x 103 – 99 x 100 x 101 x 102 = 100 x 101 x 102 x
 103 = 106110600
 Vậy N = 106110600 : 4 = 26527650
 Bài 9: Tính nhanh
 B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100
 Phân tích: Bài này thực ra là bài thuộc dạng bài 7 và 8 nhưng ta phải tìm cách đưa về
 dạng cơ bản trên. Ta có thể phân tích như sau:
 B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100 = 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) +
 .................. + 100 x (101 – 1) = 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x
 101 – 100 = (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100) = (100 x
 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2) = 343400 – 5050 = 338350
 * Kết luận 3: Với dạng bài có các số hạng là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có thể
 làm như sau:
 - Số hạng thứ nhất nhân với n (trong đó n là số tự nhiên liền kề của thừa số lớn
 nhất trong tích).
 - Số hạng thứ hai nhân với (n + 1) – 1
 .....................................................................................................................
 VD: 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 ................ ta làm như sau:
 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 .............. = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 - 1)+ 3 x 4 x (5 - 2)
 NHÓM 4:
 Bài 10: Tính nhanh.
 Tử số = 2012 + 2011/2 + 2010/3 + ................ + 2/2011 + 1/2012
11 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 Mẫu số = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ........................ + 1/2012 + 1/2013
 (Đề thi GVG trường TH Tân Lộc năm học 2013 - 2014)
 Phân tích: Với bài này ta tìm cách đưa TS về dạng tích 2 thừa số trong đó có 1 thừa số
 chính là mẫu số. Ta có thể làm như sau:
 TS = (1 + 1 + .......... + 1) + 2011/2 + ................ + 2/2011 + 1/2012
 (2012 chữ số 1)
 = (1 + 2011/2) + ...........+ (1 + 2/2011) + (1 + 1/2012) + 1
 = 2013/2 + .......... + 2013/2011 + 2013/2012 + 2013/2013
 = 2013 x ( 1/2 + .......... + 1/2011 + 1/2012 + 1/2013)
 TS/MS = 2013
 Bài 11: Tính nhanh.
 TS = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + .............. + (1 + 2 + 3 + .......... + 2014)
 MS = 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
 Phân tích: Với dạng bài ta nhận thấy ở TS có 2014 số 1; 2013 số 2 ............. Vì vậy ta có
 thể giải như sau:
 TS = (1 + 1 + .... + 1) + (2 + 2 + ....... + 2) + ....... + (2013 + 2013) + 2014
 (2014 chữ số 1) (2013 chữ số 2)
 = 1 x 2014 + 2 x 2013 + .................. + 2013 x 2 + 2014 x 1
 Vậy TS/MS = 1
 Bài 12: Tính nhanh.
 TS = 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
 MS = 1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100
 Phân tích: Với bài này ta có thể dùng cách thêm bớt để đưa MS về giống với TS. Ta có
 thể làm như sau:
 MS = 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100
 = (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)
 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/6 + 1/6 ....... 1/100
 + 1/100) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + ....... 1/50 ) = 1/51 +
 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100
 Vậy TS/MS = 1
 Bài 13: Tính nhanh.
 TS = 1 + 1/3 + 1/5 + .............+ 1/97 + 1/99
 MS = 1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51
 Phân tích: Với dạng bài ta thấy tương tự như các bài trên ta tìm cách đưa TS và MS về
12 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 tích 2 thừa số và có 1 thừa số chung. Ta có thể làm như sau:
 TS = (1 + 1/99) + (1/3 + 1/97) + ........................ + (1/49 + 1/51)
 = 100/ 1x99 + 100/3x97 + .......................... + 100/49X51
 = 100/ (1/1x99 + 1/3x97 + .......... + 1/49x51)
 Vậy TS/MS = 100
 Bài 14: Tính nhanh.
 TS = 1/2 + 1/3 + 1/4 + .............+ 1/99 + 1/100
 MS = 1/99 + 2/98 + .......... + 99/1
 Phân tích: Với dạng bài ta phân tích MS như sau:
 MS = (100 – 99)/99 + (100 - 98)/98 + ............+ (100 – 2)/2 + (100 - 1)/1
 = 100/99 – 1 + 100/98 – 1 + ..................... + 100/2 – 1 + 100/1 – 1
 = 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/1 – 1 x 99
 = 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 1
 = 100/99 + 100/98 + .................. + 100/2 + 100/100
 = 100 x (1/99 + 1/98 + ........................ + 1/2 + 1/100)
 = 100 x (1/2 + 1/3 + ........................ + 1/99 + 1/100)
 Vậy TS/MS = 1/100
 * Kết luận: Với các bài từ bài 10 đến bài 14 ta thấy giữa TS và MS luôn có mối quan
 hệ với nhau và ta tìm cách đưa TS hoặc MS về một thừa số giống nhau để giúp ta
 rút gọn và tính được giá trị của biểu thức.
 Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu
 số của phân số liền trước n lần.
 Ví dụ 1: Tính nhanh A = 1/2+ 1/4 + 1/8 +1/16 +1/32 + 1/64
 Nhận xét: Mẫu số của phân số sau gấp 2 lần mẫu số phân số liền trước
 - Tính A x 2
 A x 2 = 1 + 1/2 +1/4 +1/8 +1/16+ 1/32
 - Tính A bằng cách A = A x 2 – A
 Vậy A = 1 + 1/2 +1/4 +1/8 +1/16+ 1/32 - 1/2 - 1/4 - 1/8 -1/16 - 1/32 - 1/64
 A = 1 - 1/64
 A = 63/64
 Ví dụ 2: B =5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/ 54 + 5 /162 + 5 /486
13 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 Nhận xét: Mẫu số của phân số sau gấp 3 lần mẫu số phân số liền trước
 Bước 1: Tính B x 3
 B x 3 = 3 x (5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/ 54 + 5 /162 + 5 /486)
 = 15/2 + 5/2 + 5/6 + 5/18 + 5/ 54 + 5 /162
 Bước 2: Tính B x 3 – B
 B x 3 – B = 15/2 +5/2 +5/6 +5/18 +5/54 + 5/162 -5/2 -5/6 -5/18 - 5/54 - 5 /162 - 5/486
 B x (3 - 1) = B x 2
 B x 2 =15/2 - 5/486
 B x 2 = 3640/486
 B = 3640 / 486 : 2 = 910/243
 Ví dụ 3 : (Tương tự B) C = 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729
 Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích của hai
 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ
 nhất của mẫu số liền sau:
 Ví dụ 1:
 A = 1/ 2x3 + 1/ 3x4 + 1/4x5 + 1/5x6
 Nhận xét 3- 2 = 1 (bằng tử số)
 1/2x3 = 1/2- 1/3; 1/3x4 = 1/3 – 1/4
 A = 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/ 4 + 1/4 - 1/5 + 1/5 – 1/6
 A= 1/ 2 – 1/6
 A = 1/3
 Ví dụ 2: B = 3/ 2x5 + 3/ 5x8 + 3/ 8x11 + 3/ 11x14
 B = 1/2- 1/5 + 1/ 5 – 1/8 + 1/8 – 1/11 + 1/ 11- 1/14
 =1/ 2 – 1/14 = 3/7
 Dạng 3: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này bằng mẫu số
 của phân số kia.
 Ví dụ 1: 1991/ 1990 x 1992/ 1991 x 1993 /1992x 1994/1993 x 995/997
 Rút gọn Tử số này với mẫu số kia ta được kết quả là 1994/1990 x 995/ 997
14 of 15 3/4/2025, 10:47 AM MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH Ở TIỂU HỌC. 
 Ví dụ 2: (1-1/ 2) x (1- 1/3) x (1- 1/4) x (1- 1/5)
 Tính lần lượt các phép tính trong ngoặc ta được kết quả:
 1/2 x 2/ 3 x 3/4 x 4/5 = 1/5
 Tương tự:
 Ví dụ 3: (1- 3/ 4) x (1- 3/7) x (1- 3/10) x (1- 3/13) x (1 – 3/97) x (1- 3/100)
 Dạng 4: Vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu số
 nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả mẫu số và tử số rồi thực hiện rút gọn biểu
 thức.
 Ví dụ 1: 2003 x 1999 – 2003 x 999/ 2004 x 999 + 1004
 = 2003 x (1999 – 999)/ (2003 + 1) x 999 + 1004
 = 2003 x 1000/ 2003 x 999 +999 +1004
 = 2003 x 1000 / 2003 x 999 + 2003
 = 2003 x 1000/ 2003 x 1000
 = 1 ( Vì tử số bằng mẫu số )
 Ví dụ 2: 1996 x 1995 – 996/ 1000 + 1996 x 1994
 = 1996 x ( 1994 + 1) – 996 / 1000 + 1996 x 1994
 = 1996 x 1994 + 1000/ 1000 + 1996 x 1994
 = 1
15 of 15 3/4/2025, 10:47 AM